Définition de la défaillance et choix de l’horizon de prévision

7La définition de la défaillance est primordiale dans la construction de l’échantillon, puisqu’elle caractérise les deux populations qui fondent l’indicateur de risque. En effet, à partir d’un échantillon global d’entreprises, deux sous-échantillons doivent être construits : l’échantillon des entreprises dites “défaillantes” et l’échantillon des entreprises dites “nondéfaillantes”. La détermination de ce qu’est une entreprise défaillante est un problème délicat, susceptible de nuire à la robustesse de l’indicateur.

8La majorité des auteurs considère la défaillance comme l’ouverture d’une procédure judiciaire [2]. Cependant, certains auteurs considèrent comme “défaillante” toute entreprise qui a connu un défaut depaiement, arguant que cet événementen lui-même préoccupe les créanciers. Le comité de Bâle met en effet l’accent sur l’estimation du risque de défaut et non sur celle du risque de faillite. La définition du défaut de paiement peut prendre plusieurs formes. Généralement, le risque de défaut réside en le non-respect par le débiteur de ses obligations financières : non-remboursement du capital ou non-versement des intérêts, violation d’un covenant [3]. Mais la définition peut être plus large et consister en une dégradation de la qualité de signature de l’entreprise : restructuration de la dette, diminution des dividendes versés, voire avis défavorable d’un audit ou encore détérioration du rating du débiteur.

9Plusieurs possibilités sont alors envisageables. La plus traditionnelle consiste à opposer les entreprises qui ont fait l’objet d’une procédure collective aux autres entreprises. Il est également possible d’opposer les entreprises qui ont connu un défaut de paiement, y compris celles qui ont fait faillite, aux autres (Beaver, 1966). Au contraire, d’autres auteurs limitent l’échantillon des entreprises “défaillantes” à celles qui ont fait faillite. Ils excluent alors de la population des entreprises “non défaillantes” celles qui présentent une santé financière fragile – les entreprises “vulnérables”, répondant à un critère plus large que le simple défaut de paiement – afin d’obtenir une discrimination plus marquée (Altman et Loris, 1976 ; Altman, 1977 ; Taffler 1982). La qualité de la prévision n’est cependant pas accrue de manière significative. Une dernière approche a été envisagée : prévoir l’ouverture d’une procédure judiciaire, mais en sélectionnantexclusivementpour les deux sous-échantillons des entreprises qui ont connu des défauts de paiement (Flagg et alii, 1991) ou plus généralement des entreprises vulnérables. La qualité de la prévision peut se trouver affaiblie [4] à cause de la plus grande similitude des deux sous-échantillons [5].

10Parallèlement à la définition de la défaillance, le choix de l’horizon de prévision est important. Il conditionne la date de la défaillance des entreprises et la date des données qui vont fonder la discrimination, l’écart de temps entre les deux étant l’horizon de prévision. Un arbitrage est à faire entre une échéance trop proche, dont l’intérêt est limité car ellen’autorise pas lesdécisions à même de limiter les pertes, voire d’éviter la faillite, et une échéance trop lointaine, qui interdit une prévision précise. Les études différent légèrement sur ce point, mais très généralement, deux horizons sont choisis : un an et trois ans avant la défaillance.

11Les caractéristiques des entreprises : représentativité et homogénéité de l’échantillon La construction des deux sous-échantillons pose le double problème de la représentativité et de l’homogénéité des deux sous-échantillons. Afin que l’indicateur de risque puisse être appliqué à une entreprise quelconque, l’échantillon à partir duquel il est établi doit être représentatif de l’économie : du point de vue des secteurs d’activité, de la taille des entreprises mais également du rapport entre le nombre d’entreprises défaillantes et d’entreprises non-défaillantes. Cependant, cette représentativité crée une hétérogénéité qui est susceptible de créer un biais statistique : des facteurs explicatifs peuvent être masqués par des effets sectoriels ou des effets de taille. Afin de concilier ces deux exigences et d’améliorer la prédiction de la défaillance, plusieurs solutions ont été préconisées.

12Soulignons en premier lieu que le problème ne se pose pas de manière identique selon la taille de l’échantillon. Si les premières études, de nature plus exploratoire, recouraient à un nombre restreint d’entreprises (66 pour Altman, 1968, par exemple), les études actuelles se fondent sur de larges échantillons (presque 1 000 entreprises pour Lennox, 1999, et plus de 40 000 pour le score de la Banque de France, cf. Bardos, 1998, par exemple). Lorsque le nombre d’entreprises exploitées est élevé, une bonne représentativité est possible. Elle doit cependant être vérifiée par la comparaison entre les caractéristiques de l’échantillon et celles de la population globale. Une autre manière d’obtenir un échantillon représentatif est de limiter la portée de l’indicateur à une population cible, définie par un secteur économique limité ou un intervalle restreint de taille des entreprises. Les entreprises de l’échantillon se situent alors dans ce secteur économique ou dans cet intervalle de taille (Trieschmann et Pinches, 1973 ; Altman, 1977 ; Altman et Loris, 1976 ; Calia et Ganuci, 1997). L’inconvénient d’une telle méthode est qu’elle exige que soit élaboré un indicateur par secteuret par taille. Se pose alors le problème du choix d’agrégation des secteurs économiques et de l’ampleur des intervalles de taille. Comment estimer le degré optimal d’homogénéité de l’échantillon ? Cependant, cette méthode présente l’avantage certain de concilier représentativité et homogénéité.

13Si un échantillon hétérogène est utilisé, comment éviter le biais statistique qui en découle ? Une première possibilité est l’utilisation de “ratios relatifs”. Rapporter la valeur prise par un ratio dans une entreprise donnéeà savaleur moyenne au sein du secteur considéré permet en effet d’atténuer la spécificité sectorielle (Lev, 1969 ; Izan, 1984, ou encore Platt et Platt, 1990). Platt et Platt (1991) élaborent deux indicateurs, à partir des mêmes données, mais l’un utilise les ratios relatifs, l’autre les ratios absolus. Le premier est plus performant (cf. tableau récapitulatif). Néanmoins, peut-être à cause de sa lourdeur, comme le supposent les auteurs, cette solution est peu utilisée. La méthode la plus usitée consiste à procéder par appariement, en faisant correspondre à toute entreprise défaillante une entreprise non-défaillante de même taille et appartenant au même secteur économique (Mossman et alii, 1998). Lorsqu’une contrainte relative à la disponibilité des données existe, cette méthode est celle qui réduit au mieux le biais statistique lié à l’hétérogénéité de la population.

14L’inconvénient est que l’échantillon des entreprises défaillantes est alors nécessairement de la même taille que celui des entreprises non-défaillantes : un autre biais peut apparaître dans l’estimation des paramètres, car la structure de la population globale n’est pas respectée (Malécot, 1986). Ce problème se pose d’ailleurs quel que soit le mode d’échantillonnage à cause de la rareté de la défaillance. Or le résultat de certaines techniques de classification dépend de la taille respective des deux échantillons [6]. Afin de limiter ce biais, il est possible – sauf pour la méthode d’appariement – de rendre le rapport de taille des deux échantillons conforme à la probabilité de défaillance a priori. Cette probabilité correspond au taux de défaillance de la population globale ou de la population cible. Il est néanmoins plus fréquent [7] que le biais créé soit corrigé lors de l’élaboration de l’indicateur, en tenant compte alors de la probabilité de défaillance a priori.

Les modèles de prédiction fondés sur l’analyse discriminante

34Dès 1968, Altman affirme qu’une analyse unidimensionnelle rend malcomptede lacomplexité du processus de défaillance. Aussi est-il le premier à exploiter simultanément plusieurs ratios, au travers d’une analyse discriminante linéaire multidimensionnelle [17]. Afin de classer une entreprise parmi l’un des deux groupes d’entreprises : défaillantes ou non-défaillantes, Altman (1968) utilise la règle de décision simple qui consiste à affecter l’entreprise au groupe dont elle est le plusproche. Il recours à l’analyse discriminante de Fisher fondée sur un critère métrique. L’analyse aboutit à la construction d’une fonction appelée score, combinaison linéaire des variables explicatives retenues, dont la réalisation exprime le niveau de risque de l’entreprise.

35Des ratios, au nombre de K, sont sélectionnés initialement au sein de l’ensemble vaste des ratios susceptibles d’être explicatifs de la défaillance. Sont conservés ceux qui limitent le problème de multicolinéarité tout en possédant le pouvoir de discrimination le plus élevé. L’ensemble des entreprises peut ainsi être représenté dans l’espace ?^K. L’objectif de l’analyse discriminante est de séparer l’espace ?^K en deux sous-espaces : le sous-espace des entreprises défaillantes et le sous-espace des entreprises non-défaillantes. Chaque sous-espace contient des entreprises de l’autre groupe, puisque les K ratios ne caractérisent qu’imparfaitement les deux catégories d’entreprises. L’analyse discriminante vise à déterminer l’hyperplan H* qui sépare au mieux les deux groupes. H* doit donc être tel qu’à la fois le nombre d’entreprises défaillantes présentes dans le sous-espace des entreprises non-défaillantes soit minimal et que le nombre d’entreprises non défaillantes inclues dans le sous-espace des entreprises défaillantes soit minimal. L’entreprise dont on désire connaître le risque de faillite – que nous appellerons l’entreprise A – est ensuite affectée au groupe qui correspond au sous-espace où ses coordonnées x la situent. Cette démarche revient à _A rattacher l’entreprise A au groupe dont le centre lui est le plus proche. Il convient donc d’établir une mesure de distance : la distance à un groupe est définie comme ladistance aupoint moyen du groupe, suivant une métrique particulière [18].

36Soit S x( ) =0 l’équation de l’hyperplan H* dans l’espace ?^K. S est une combinaison linéaire des K ratios considérés. La valeur prise par la fonction S(.) au point x détermine l’affectation de l’entreprise à _A partir du vecteur x de ses K ratios : si S x( )> 0, _AA l’entreprise A est classée parmi les non-défaillantes, si S x( )< 0, l’entreprise A est classée parmi les _A défaillantes et si S x( ) =0 il est impossible de _A classer l’entreprise A. La valeur prise par la fonction score fournit également un indicateur du risque de faillite de l’entreprise. L’analyse discriminante linéaire permet ainsi de raisonner dans un espace à une dimension au lieu de K, nombre de variables explicatives exploitées. Elle permet également de connaître directement la contribution de chaque variable au risque de l’entreprise.

37L’analyse d’Altman (1968) se révèle plus efficace que celle menée par Beaver (1966) un an avant la défaillance puisqu’elle aboutit à un taux de bons classements global de 95% sur l’échantillon initial. Cependant, calculé sur un échantillon test distinct de l’échantillon initial, le taux de bons classements un an avant la défaillance est égal à 82% et donc inférieur au taux fourni par l’analyse de Beaver (qui était égal à 87%, calculé sur un échantillon test distinct de l’échantillon initial). Il peut sembler surprenant qu’ajouter des variables explicatives n’améliore pas la prévision. Cependant, comparer l’efficacité de deux prévisions réalisées à partir de deux échantillons différents est délicat, ce d’autant plus que leur taille est réduite (158 entreprises pour l’étude de Beaver, 1966, et 66 pour celle d’Altman, 1968). De plus leur objectif est différent : Beaver (1966) désire prévoir tout défaut de paiement alors qu’Altman (1968) se concentre sur le dépôt de bilan. Une comparaison entre les deux études ne peut donc être faite qu’avec prudence. Deakin (1972), en confrontant les deux méthodes à partir d’un même échantillon, tend à montrer la supériorité de l’analyse discriminante linéaire pour prévoir le dépôt de bilan. À un an de la faillite, elle classe correctement 87% des entreprises, alors que la classification unidimensionnelle élaborée par Beaver ne classe correctement que 80% des entreprises.

38Plusieurs inconvénients sont liés à l’utilisation de l’analyse discriminante linéaire. Des modifications importantes ont été réalisées pour y remédier et elle a été la technique la plus usitée pendant 30 ans [19], tous pays confondus [20]. La première modification de la méthode est liée à l’intégration des coûts d’erreurs de classement et de la probabilité de défaut a priori. En effet, il peut tout d’abord être important pour le décideur – principalement un banquier ou un assureur crédit – de prendre en compte le fait que le coût des erreurs de type I (considérer qu’une entreprise défaillante est non-défaillante) est différent du coût des erreurs de type II (considérer qu’une entreprisenon-défaillanteestdéfaillante). Le coût d’une erreur de type I – noté c_D^ND – représente la perte totale ou partielle sur les nouveaux crédits octroyés à cause d’une mauvaise estimation du risque. Le coût d’une erreur de type II – noté c_ND^D – représente un coût d’opportunité pour la banque [21]. Par ailleurs, le seuil de décision présenté ci-dessusne tient pas compte de la probabilité a priori qu’une entreprise soit défaillante ou non-défaillante [22]. Si, par exemple, les deux types d’erreur ont le même coût, mais que la probabilité de défaut a priori est faible, une entreprise située à équidistance des deux groupes devrait être considérée comme non-défaillante.

39La règle de décision de Bayes permet d’utiliser la fonction score tout en prenant en compte les coûts d’erreur de classement et la probabilité de défaut a priori. Notons ? la probabilité a priori qu’une _j entreprise quelconque appartienne au groupe j, où j peut désigner le groupe des défaillantes ( )j D= ou celui des non-défaillantes ( )j ND=. Notons f x j( | ) la fonction de densité du vecteur des A coordonnées x de l’entreprise A conditionnelle à _A l’appartenance au groupe j. L’expression f x j( | )

40A correspond à la probabilité conditionnelle que l’entreprise soit caractérisée par les coordonnées x alors qu’elle appartient au groupe j. Alors _A f j x( | ), la probabilité a posteriori pour _A l’entreprise A d’appartenir au groupe j sachant x, se _A déduit du théorème de B ayes :

41Si les coûts d’erreur de classement sont intégrés au critère de décision bayesienne, A est affectée au groupe des défaillantes si et seulement si : f x D c c f x NDA DND D NDD ND A ( | ) ( | )? ??. Cela signifiequela proportion des entreprises affectées au groupe des entreprises défaillantes croît avec le coût associé au mauvais classement d’une entreprise défaillante. Au contraire, plus le fait de considérer une entreprise non-défaillante comme défaillante est coûteux, plus la proportion d’entreprises affectées au groupe des non-défaillantes augmente.

42Si lesfonctionsde densité desdeuxsous-populations sont multinormales et homoscédastiques, la fonction score S(.) permet de classer une entreprise A à partir du vecteur x de ses K ratios en fonction de la règle _A bayesienne de la manière suivante :

43Une lecture directe de la fonction score permet ainsi la classification des entreprises. Soulignons cependant que la détermination d’un seuil de classification est secondaire par rapport à la valeur de la fonction score en-elle même qui fournit une indication du risque de l’entreprise. La première raison en est la difficulté d’évaluer les coûts d’erreur de classement. La seconde raison est qu’une fonction score a pour fonction d’aider à la décision et non de fonder seule la décision.

44D’autres modifications ont été apportées, afin de limiter les inconvénients liés à la linéarité de la fonction score construite par l’analyse discriminante de Fisher. Cette caractéristique implique que chaque ratio influence toujours dans le même sens le risque de faillite. Or certaines variables n’ont pas un impact monotone sur lasantéde l’entreprise. Par exemple, le lien entre la taille de l’entreprise et son risque est croissant pour les petites entreprises puis il est décroissant au delà d’une certaine taille [24]. De plus, la linéarité signifie que l’élasticité du score par rapport au ratio est monotone. Le lien entre le risque et les ratios choisis est donc soumis à des contraintes structurelles qui peuvent nuire à l’efficacité de l’analyse discriminante. Pour lever ces contraintes, Bardos (1989) applique à la prévision de la faillite la méthode DISQUAL, établie par Saporta (1977). Les variables comptables continues sont réparties en intervalle et ainsi transformées en variables qualitatives. L’absence de monotonie dans le lien entre le niveau des ratios et le niveau de risque de l’entreprise peut alors être pris en compte. L’indicateur ainsi construit est cependant moins performant que le score construit par une discrimination linéaire appliquée aux mêmes données. La plus grande robustesse du score est invoquée par Bardos (1989) pour expliquer ce résultat.

45L’analyse discriminante linéaire présente un autre inconvénient majeur : elle requiert des conditions statistiques strictes. Les variables comptables utilisées doivent en effet suivre une loi multinormale et leurs matrices de variance-covariance doivent être les mêmes pour l’échantillon des entreprises défaillantes et pour celui des entreprises non-défaillantes [25]. Face à la contrainte d’homoscédasticité, certains auteurs ont recouru aux analyses discriminantes quadratiques, qui n’exigent que l’hypothèse de multinormalité des ratios (Lachenbruch et alii, 1973; Marks et Dunn, 1974; Rose et Giroux, 1984, par exemple). À notre connaissance, l’analyse discriminante quadratique n’est plus utilisée depuis le milieu des années quatre-vingt. Si théoriquement elle est plus pertinente que l’analyse linéaire en cas d’hétéroscédasticité, dans les faits elle est moins performante, principalement pour deux raisons. Premièrement, l’absence de multinormalité des ratios est beaucoup plus nuisible à l’efficacité de l’analyse quadratique qu’à celle de l’analyse linéaire (Lachenbruch, 1975); deuxièmement, même en cas de respect de l’hypothèse de multinormalité, l’analyse discriminante quadratique n’est performante que si elle est appliquée à un échantillon très large. La complexité du modèle quadratique rend par ailleurs difficile l’analyse du rôle joué dans le processus de défaillance par les différentes variables considérées.

46L’analyse discriminante linéaire reste actuellement la méthode la plus utilisée. La fonction score, grâce à l’analyse de la contribution de chaque ratio, constitue une aide à la compréhension de la faillite. De surcroît, grâce à sa robustesse temporelle, elle offre la meilleure classification. De nombreuses études – principalement dans les années quatre-vingt dix – confrontent l’analyse discriminante linéaire aux autres techniques de classification (Collins, 1980; Rose et Giroux, 1984; Altman et alii, 1994; Calia et Ganuci, 1997; Kira et alii, 1997; Bardos et Zhu, 1997 ; Varetto, 1998). La majorité aboutit au résultat suivant : les taux de bons classements obtenus par l’analyse discriminante linéaire sont supérieurs à ceux fournis par les autres méthodes pour les mêmes données. La supériorité de la première n’est cependant pas systématique (Bardos et Zhu, 1997; Calia et Ganuci, 1997, notamment).

Les modèles de prédiction recourant aux régressions sur variables qualitatives

47Face à la contrainte de multinormalité – rarement respectée empiriquement – des analyses discriminantes linéaires et quadratiques, certains auteurs ont préféré recourir à d’autres méthodes. La première possibilité est l’utilisation d’autres techniques paramétriques, qui supposent une distribution différente des variables comptables : les techniques économétriques sur variables qualitatives que sont le modèle Probit et le modèle Logit. Ils diffèrent dans la distribution supposée des erreurs : une loi logistique pour le Logit et une loi normale pour le Probit. La régression Logit a été appliquée à la prévision de la faillite par Ohlson (1980), puis notamment par Mensah (1984), Azizet alii (1988), Bardos (1989), Burgstahler et alii (1989), Flagg et alii (1991), Platt et Platt (1991), Weiss (1996), Bardos et Zhu ( 1997), Mossman et alii (1998). Le modèle Probit a été plus rarement utilisé (Zmijjewsji, 1984 ; Gentry et alii, 1985 ; Lennox, 1999).

48Dans les deux modèles, la variable endogène y est une variable qualitative, ici dichotomique [26] : elle prend la valeur 0 ou 1, selon que l’entreprise est défaillante ou non. Supposons que y soit nul pour les entreprises défaillantes et égal à un pour les entreprises non-défaillantes. Le vecteur x des variables exogènes est composé de K ratios économiques et financiers retenus pour leur qualité discriminante et leur faiblecorrélation entre elles. Le modèle requiert que les ratios choisis soient liés au risque de l’entreprise de façon linéaire. Le modèle estimé s’écrit :

49Des probabilités de défaut a posteriori sont alors aisément calculables; la probabilité a posteriori que l’entreprise i soit défaillante est égale à :

50La probabilité a posteriori que l’entreprise i ne soit pas défaillante est :

51Le modèle Probit suppose que les erreurs suivent une loi normale; leur fonction de répartition F s’écrit :

52Les prévisions élaborées à partir des modèles Logit et Probit sont de bonne qualité : à un horizon d’un an, Platt et Platt (1991) aboutissent à des estimations du taux réel de bons classements égales à 85% pour les entreprises défaillantes et à 88% pour les entreprises non-défaillantes; Mossman et alii (1998) estiment leur taux de bons classements des entreprises défaillantes égal à 80% et celui des entreprises non-défaillantes égal à 70%. Si Bardos (1989), comparant la discrimination linéaire aux modèles Probit à partir des mêmes données, tend à montrer la supériorité de la première, a priori grâce à sa plus grande robustesse, des études plus récentes aboutissent à la conclusion inverse. Par exemple, Kira et alii (1997) et Lennox (1999) obtiennent de meilleurs taux de bons classements respectivement par un modèle Logit et Probit que par un modèle d’analyse discriminante linéaire.

Les modèles de prévision de la faillite fondés sur la technique du partitionnement récursif

54L a première méthode de classification non-paramétrique appliquée à la prévision de la faillite est l’algorithme de partitionnement récursif (Frydman et alii, 1985). La méthode consiste à construire un arbre décisionnel. L’échantillon, constitué d’entreprises défaillantes et non-défaillantes, est décomposé de manière séquentielle : à chaque nœud de l’arbre, un sous-groupe est décomposé en deux sous-groupes plus petits, jusqu’aux groupes finals, qui contiennent 100% d’entreprises défaillantes ou 100% d’entreprises non-défaillantes. On obtient alors des nœuds dits “purs”. Un seuil de tolérance inférieur à 100% peut être accepté afin de limiter le nombre de nœuds, les nœuds finals sont alors “impurs”. L’impureté d’un nœud rend compte de l’hétérogénéité du sous-groupe qui le caractérise.

55À chaque nœud, le sous-groupe est scindé en deux sous-groupes au regard d’un ratio unique, qui doit avoir un lien monotone avec le risque de faillite. Un ratio et un seuil de décision sont choisis : les entreprises qui présentent une valeur de ce ratio inférieure au seuil sont classées dans le premier sous-groupe, les autres dans le second sous-groupe. Le ratio et le seuil sont fixés de manière à réduire au mieux l’impureté. L’un des sous-groupes contient une proportion plus forte d’entreprises défaillantes et l’autre une proportion plus forte d’entreprises non-défaillantes. Chaque sous-groupe ainsi formé est ensuite également décomposé en deux autres sous-groupes, à l’aide d’un autre ratio, jusqu’à ce que la pureté du nœud – donc l’homogénéité des sous-groupes d’entreprises – soit jugée suffisante. Afin de classer une entreprise quelconque, il suffit de lui appliquer l’arbre décisionnel. Elle est considérée défaillante si in fine elle se situe dans un groupe constitué majoritairement d’entreprises défaillantes. Soulignons que cette méthode permet de prendre en compte le coût des erreurs de classement et les probabilités de défaut a priori.

56Pour un horizon temporel de un an, Frydman et alii (1985) aboutissent à un taux de bons classements égal à 89% ou 80% [27]. Bardos (1989) obtient un taux de bons classements égal à 69,6% pour les entreprises non-défaillantes ; pour les entreprises défaillantes, le taux est égal à 74,9% à un an de la faillite et égal à 61,2% à trois ans de la faillite. Même si dans l’étude de Bardos (1989) le partitionnement récursif est un peu moins efficace que l’analyse discriminante linéaire réalisée sur les mêmes données, cette méthode de classification est performante.

57Le partitionnement récursif est cependant peu utilisé dans la prévision de la faillite. Une des explications envisageables est que cette méthodologie, contrairement à l’analyse discriminante linéaire, est très sensible au choix des probabilités de défaut a priori et des coûts d’erreur de classement. Ces variables conditionnent en effet à chaque nœud le ratio sélectionné. De plus, le partitionnement récursif requiert qu’à chaque nœud soit déterminée une valeur seuil pour le ratio considéré, ce qui nuit à la stabilité temporelle de l’indicateur.

Les modèles de prévision de la faillite fondés sur une estimation non-paramétrique des lois de distribution des ratios

58Si l’application de la règle de décision bayesienne à l’analyse discriminantenécessite quesoient connues les fonctions de densité des ratios, elle n’exige cependant pas que ces fonctions soient multinormales. Afin de résoudre le problème de la non-multinormalité des ratios, une autre loi de distribution est envisageable. Il est notamment possible d’estimer la loi de probabilité des ratios par des méthodes non-paramétriques [28] (Murphy et Moran, 1986, puis Calia et Ganuci, 1997).

59Rappelons que les méthodes paramétriques d’estimation des lois de probabilités consistent à considérer une loi donnée, par exemple la loi normale, puis à évaluer empiriquement ses paramètres, en l’occurrence l’espérance et la variance ; elles supposent qu’un nombre fini de paramètres parviennent à décrire de façon suffisamment fidèle l’intégralité des évolutions possibles de la variable considérée. Le principe des méthodes non-paramétriques est, au contraire, de ne pas s’appuyer sur une forme spécifique de loi déterminée a priori. Elles supposent qu’en présence de points extrêmes, les méthodes paramétriques en rendent compte imparfaitement. L’idée est alors de lisser les observations afin de mettre en évidence les évolutions principales. Le lissage consiste à estimer localement la fonction de densité par une moyenne pondérée localedesfréquences. Un pointestpondéré d’autant plus fortement qu’il est proche du point x en lequel la fonction de densité est estimée. Le paramètre de lissage est crucial car il détermine la taille du voisinage, c’est-à-dire le nuage de points pris en considération pour estimer localement la fonction de densité; il fixe également la pondération de chaque point. Il conditionne donc la précision de l’estimation.

60Calia et Ganuci (1997) utilisent la méthode du noyau et la méthode du plus proche voisin, qui sont les deux modalités d’estimation les plus utilisées. Elles se différencient par la détermination du voisinage. La méthode du noyau considère un intervalle de largeur donnée autour du point x, le nombre de points considérés pour l’estimation étant variable. La méthode du plus proche voisin, au contraire, ne prend en considération que les k points les plus proches de x, l’intervalle étant variable. Après avoir ainsi estimé la fonction de densité de chaque ratio pour l’échantillon des entreprises défaillantes et des entreprises non-défaillantes, les auteurs appliquent la règle de décision de Bayes afin de classer les entreprises. Les paramètres de lissage de chaque méthode sont fixés de manière à obtenir la meilleure prévision possible.

61À un an de la faillite, le taux global de bons classements estimé par Calia et Ganuci (1997) à partir d’un échantillon test distinct de l’échantillon initial est égal à 68% lorsque l’estimateur du noyau est utilisé et il est égal à 74,2% pour l’estimateur du plusprochevoisin. L’indicateur ainsiélaboré est plus performant que l’analyse discriminante linéaire et quadratique sur les mêmes données, puisque ces techniques fournissent un taux de bons classements, estimé dans les mêmes conditions, respectivement égal à 60,9% et 61,8%. Le principal défaut de cette méthode statistique est le nombre important de données qu’elle requiert, par rapport à l’estimation paramétrique de la loi de distribution des ratios.

La prévision de la faillite fondée sur les réseaux de neurones

63Le principe des réseaux de neurones consiste en l’élaboration d’un algorithme dit d’apprentissage qui imite le traitement de l’information par le système neurologique humain [29]. Chaque neurone réside en une fonction, dite de transfert, qui traite un ensemble d’informations (les inputs) afin d’obtenir un résultat (l’output). La fonction de transfert, choisie par l’utilisateur, consiste en un traitement mathématique, généralement non-linéaire, de l’input. À chaque input est attribué un poids qui influence le résultat. L’objectif est d’aboutir, après une phase dite d’apprentissage, à la combinaison des poids d’inputs de chaque neurone qui conduit à la meilleure description de la réalité, c’est-à-dire au meilleur classement des entreprises dans les deux groupes de firmes, les défaillantes et les non-défaillantes.

64Trois sortes de neurones existent : les neurones d’entrée, les neurones de sortie et les neurones cachés. Les neurones d’entrée ont pour inputs les K ratios comptables pré-sélectionnés; les neurones de sortie ont pour output la variable dichotomique défaillant / non-défaillant. Les neurones cachés sont des neurones qui traitent l’information entre les neurones d’entréeet les neurones de sortie. Le réseau utilisépeut être plus ou moins complexe, c’est-à-dire être constitué d’un nombre variable de couches de neurones. Une couche est un ensemble de neurones qui ne s’échangent pas d’information entre eux. En revanche, au sein de chaque couche les neurones sont connectés aux neurones de la couche précédente : l’ensemble des outputs d’une couche constitue par conséquent l’ensemble des inputs de la couche suivante. Les poids attribués à chaque input déterminent ainsi la transmission de l’information. L’analyse discriminante peut être considérée comme un réseau de neurones constitué d’un neurone unique dont les inputs seraient les valeurs des ratios comptables et l’output la valeur du score, output généré par transformation linéaire, qui constitue la fonction de transfert.

65Pendant la phase d’apprentissage, le réseau est appliqué successivement à toutes les entreprises de l’échantillon. L’erreur de classement est calculée puis les poids des inputs sont modifiés de manière à réduire cette erreur ; c’est en effet par la variation progressive de ces pondérations que se réalise le processus d’apprentissage. L’ensemble deces étapes est réitéré jusqu’à l’obtention de la classification optimale, c’est-à-dire de la minimisation de l’erreur de classement. À la fin de la phase d’apprentissage, le réseau permet de classer une entreprise quelconque dans le groupe des entreprises défaillantes ou dans celui des entreprises non-défaillantes, avec un seuil d’erreur connu.

66Les différents modèles de prévision de la faillite qui recourent aux réseaux de neurones se distinguent par la complexité du réseau (c’est-à-dire son nombre de couches et le nombre de neurones par couche) et par la fonction de transfert utilisée [30]. De nombreuses études récentes se sont attachées à comparer les performances des réseaux de neurones aux techniques statistiques citées précédemment. Certaines tendent à montrer leur supériorité par rapport à l’analyse discriminante (Chung et Tam, 1993; Coats et Fant, 1993). L’étude d’Altman et alii (1994) présente un bilan plus mitigé : à un an de la faillite, les réseaux de neurones aboutissent à un taux de bons classements égal à 91,8% pour les entreprises défaillantes et à un taux égal à 95,3% pour les entreprises non-défaillantes. L’analyse discriminante linéaire menée sur le même échantillon aboutit à un classement légèrement meilleur : 92,8% pour les entreprises défaillantes et 96,5% pour les entreprises non-défaillantes. Kira et alii (1997) aboutissent à la même conclusion. Le taux global de bons classements à un an de la défaillance est égal à 93,3% lorsque l’analyse discriminante est utilisée; il est égal à 90% avec un réseau de neurones. La régression Logit est plus performante, fournissant un taux de bons classements égal à 95,5%. Cependant, les différences sont ténues, comme le confirme l’étude de Bardos et Zhu (1997) : l’analyse discriminante linéaire classe correctement 68,3% des entreprises défaillantes et 75,3% des entreprises non-défaillantes alors que le réseau de neurones le plus performant classe correctement 61,3% des entreprises défaillantes et 82,8% des entreprises non-défaillantes.

67Les réseaux de neurones permettent donc une prévision efficace de la faillite des entreprises. L’avantage principal de ce procédé consiste en l’absence de restrictions statistiques relatives à la distribution des variables et des erreurs et en l’absence de spécification ex ante d’une forme fonctionnelle. Cependant, plusieurs problèmes existent : le mécanisme d’apprentissage peut être long; la robustesse du réseau à des modifications de l’environnement économique n’est pas encore prouvée, une mise à jour fréquente peut s’avérer nécessaire; enfin la logique qui sous-tend le réseau est difficile à interpréter alors que la fonction score fournit des outilssimplesd’analyse deladéfaillance.

La prévision de la faillite fondée sur les algorithmes génétiques

68Varetto (1998) et Barney et alii (1999) ont les premiers envisagé une autre méthode, relevant également de l’intelligence artificielle : les algorithmes génétiques [31]. Le fonctionnement est assez proche de celui des réseaux de neurones. Un algorithme traite les informations disponibles, les ratios comptables sélectionnés et la situation de chaque entreprise (défaillante ou non défaillante). L’algorithme, par itérations successives, déduit des régularités, des règles générales du processus de défaillance qu’il peut ensuite appliquer à d’autres entreprises [32].

69Le principe d’un algorithme génétique est d’imiter le processus d’évolution naturelle des espèces. Il se fonde sur les trois principes du Darwinisme : sélections et reproductions des individus les “meilleurs”, croisements génétiques et mutations aléatoires des gènes. L’algorithme génétique analyse donc des populations de solutions – c’est-à-dire des modes de traitement de l’information propres à prévoir la défaillance – et évalue leur qualité, en l’occurrence le taux de bons classements des entreprises qu’elles fournissent. L’algorithme conserve alors les modes de résolution les plus efficaces et les combine, éventuellement en génère de nouveaux de façon aléatoire. Il aboutit alors à une nouvelle population desolutions, plus homogène. La procédure est réitérée et elle s’arrête lorsque la population de solutions atteint un certain niveau d’homogénéité, fixé préalablement, tel qu’il est difficile d’améliorer “l’espèce” par de nouveaux croisements. L’algorithme peut finalement classer toute entreprise dans le groupe des entreprises défaillantes ou dans le groupe des entreprises non défaillantes.

70Varetto (1998) compare l’efficacité d’un algorithme génétique à celle d’une analyse discriminante linéaire. Il considère deux formes d’algorithmes génétiques. Le premier algorithme génère des combinaisons linéaires de ratios comptables. Les coefficients des ratios ainsi que la constante sont successivement modifiés afin d’aboutir à la combinaison la plus discriminante. Le second algorithme génère une fonction score non-linéaire. Les résultats sont presque aussi bons que ceux fournis par l’analyse discriminante linéaire alors que la méthodologie de l’algorithme génétique n’exige pas les restrictions statistiques induites par l’analyse discriminante. Barney et alii (1999) incorpore un algorithme génétique dans un réseau de neurones. L es taux de bons classements obtenus sont supérieurs à ceux donnés par une régression Logit, effectuéesurle mêmeéchantillon. ShinetLee (2002) obtiennent également des résultats prometteurs – puisque cette technique est encore dans une phase exploratoire. Cependant, les algorithmes génétiques présentent le même inconvénient que les réseaux de neurones, la difficile interprétation du rôle joué par chaque variable dans le processus de défaillance. Soulignons néanmoins que l’article de Shin et Lee (2002) prouve que les algorithmes génétiques peuvent fournir des règles de décision claires.